Matriks

MATRIKS

Matriks adalah susunan bilangan dalam bentuk baris dan kolom. Biasanya dilambangkan dalam huruf kapital.

Contoh mudah matriks dapat kamu lihat dalam ilustrasi di bawah ini:

Ilustrasi di atas dapat kamu baca seperti ini: a11 dibaca baris ke-1 dan kolom ke-1; a12 dibaca baris ke-1 dan kolom ke-2; atau amn yang berarti baris ke-m dan kolom ke-n. Banyaknya baris dan kolom dalam matriks disebut dengan ordo. Urutan yang perlu diingat adalah baris kemudian kolom. Matriks dalam ilustrasi di bawah ini memiliki ordo 2x3, karena memiliki dua baris dan tiga kolom.

Untuk mengetahui matriks dalam matematika lebih dalam, ada beberapa jenis matriks yang perlu kamu ketahui, Squad. Jenis-jenisnya adalah:

1. Matriks nol             : matriks yang semua elemennya adalah nol.

2. Matriks baris         : matriks yang hanya memiliki satu baris.

3. Matriks kolom      : matriks yang hanya memiliki satu kolom.

4. Matriks persegi    : matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.

5. Matriks identitas : matriks konstanta dengan elemen diagonal utama adalah 1.

Selain jenis-jenis matriks, ada juga yang disebut dengan transpose matriks. Ingat ‘kan kalau matriks selalu dilambangkan dengan huruf kapital? Misalnya lambang satu matriks adalah A. Nah, transpose dari matriks A dilambangkan dengan A’ (dengan tanda petik satu di atasnya). Transpose sendiri dilakukan dengan meletakkan baris pada matriks A menjadi kolom pada matriks A’, begitu juga sebaliknya.

contoh transpose matriks di bawah ini:

• Latihan Soal :

Diketahui transpose matriks , maka matriks A adalah…

Apikasi Turunan

Aplikasi Turunan

Pada materi aplikasi turunan kita akan mendapati beberapa bentuk turunan. Bentuk turunan tersebut diantaranya yaitu turunan pertama, turunan kedua dan turunan fungsi trigonometri. Berikut penjelasannya untuk Anda :

• Turunan pertama

Semisal y adalah fungsi dari x atau dapat ditulis juga bahwa y = f (x). Sehingga turunan dari y terhadap x dinotasikan dengan konsep rumus berikut ini :

Dengan memanfaatkan definisi turunan diatas dapat diturunkan beberapa rumus turunan yang meliputi :

1. Jika diketahui y = Cxn dimana C dan juga n merupakan suatu bentuk konstanta real, maka dy : dx = Cnxn – 1
2. Jika diketahui y = C dan C merupakan elemen R maka dy : dx = 0
3. Untuk y = f (x) + g (x) sehingga maka dy / dx = f aksen sehingga x + g aksen sehingga x atau dalam rumus = f’(x) + g’ (x)
4. Untuk y = f (x) . g (x) sehingga maka dy / dx = f aksen sehingga x . g sehingga x + g aksen sehingga x . f sehingga x atau dalam rumus f’ (x) . g (x) + g’ (x) . f (x)

• Turunan kedua 

Turunan kedua dari y = f (x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut ini :

Turunan kedua dari aplikasi turunan merupakan bentuk turunan yang didapatkan dengan menurunkan kembali turunan yang pertama. Anda dapat memperhatikan contoh di bawah ini :

Turunan kedua ini juga bisa digunakan antaranya untuk keperluan :

1. Penentuan gradient garis singgung suatu kurva
2. Penentuan apakah suatu interval akan naik atau turun
3. Penentuan nilai maksimum dan nilai minimum suatu kurva

Turunan fungsi trigonometri 

Mengenai bagaimana rumus untuk menentukan turunan fungsi trigonometri, Anda bisa simak rumus di bawah ini :

Contoh Soal Aplikasi Turunan

Contoh soal 1 :

Suatu benda bergerak dengan persamaan gerak yaitu y = 5t2 – 4t + 8 dengan y dalam meter dan t dalam satuan detik. Anda harus menentukan kecepatan benda saat t = 2 detik!

Jawab :

Contoh soal 2 :

Coba tentukan nilai maksimum dari fungsi f (x) = 3x (x2 – 12)

Jawab :

Maka nilai minimum adalah -48 dan nilai maksimum adalah 48.

Turunan Fungsi Implisit

Turunan Fungsi Implisit

Kita akan belajar menentukan turunan fungsi implisit. Saat membaca tulisan ini, kita tentu sudah mahir menentukan turunan fungsi yang dinyatakan secara eksplisit. Misalnya $y=4x^2 + x$, dengan turunan $\frac{dy}{dx}=8x+1$. Namun, coba perhatikan fungsi berikut ini.$\begin{aligned} 4x^2y-xy=x^3+1 \end{aligned}$

Persamaan di atas mendefinisikan y sebagai fungsi implisit dari x. Tapi ternyata persamaan di atas dapat dimodifikasi sehingga y menjadi fungsi eksplisit dari x.$\begin{aligned} 4x^2y-xy &= x^3+1 \\ \left( 4x^2-x \right) y &= x^3+1 \\ y &= \frac{x^3+1}{4x^2-x} \end{aligned}$

Nilai dari $\frac{dy}{dx}$ dapat dicari dengan menggunakan aturan pembagian.$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{3x^2(4x^2-x)-(x^3+1)(8x-1)}{(4x^2-x)^2} \\ &= \frac{(12x^4-3x^3)-(8x^4-x^3+8x-1)}{(4x^2-x)^2} \\ &= \frac{4x^4-2x^3-8x+1}{(4x^2-x)^2} \end{aligned}$

Turunan fungsi di atas dapat dicari dengan mengubahnya menjadi fungsi dalam bentuk eksplisit. Tapi, tidak semua fungsi dapat diubah menjadi bentuk eksplisit. Misalnya fungsi$\begin{aligned} y^3-2y=3x^2-1 \end{aligned}$

Karena adanya fungsi semacam ini, maka kita perlu belajar menentukan turunan dari fungsi yang dinyatakan secara implisit. Sesuai namanya, proses penentuan turunan fungsi implisit disebut turunan implisit. Kita akan menentukan turunan dari fungsi di atas.

Pertama, turunkan kedua ruas persamaan di atas terhadap $x$.

$$\begin{array}{rl}\frac{dx}{d}(y^3-2y)& \\ & =\frac{d}{dx}(3x^2-1)\end{array}$$

Jika diturunkan terhadap $x$, ekspresi aljabar yang memuat $y$ tidak dapat dipandang sebagai sebuah konstan, yang turunannya bernilai nol. Karena, sebelumnya telah dibicarakan bahwa y merupakan fungsi implisit dari x. Untuk itu, kita perlu menggunakan aturan rantai.

Misalkan $u=y^3-2y$, sehingga$$\begin{aligned} \frac{du}{dx}&=\frac{du}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} \\ &= (3y^2-2) \frac{dy}{dx} \end{aligned}dxdu​​=dydu​⋅dxdy​=(3y2−2)dxdy​​

Atau secara operasional, jika ekspresi aljabar tersebut hanya memuat y, maka kita cukup menentukan turunannya terhadap y, kemudian mengalikannya dengan $\frac{dy}{dx}$. Turunan dari $y^3-2y$ terhadap y adalah $3y^2-2$, sehingga turunannya terhadap x adalah $(3y^2-2) \frac{dy}{dx}$. Dengan menentukan turunan dari suku lainnya, kita peroleh$\begin{aligned} \frac{d}{dx}(y^3-2y)&=\frac{d}{dx}(3x^2-1) \\ (3y^2-2) \frac{dy}{dx}&=6x \\ \frac{dy}{dx}&=\frac{6x}{3y^2-2} \end{aligned}$

Nah, kita peroleh $\frac{dy}{dx}$ dari fungsi tersebut. Kita akan membahas soal lainnya sebagai contoh.

Contoh 1 :

Tentukan $\frac{dy}{dx}$ dari $xy^2=x-8$.

Pembahasan

Pertama, kita turunkan kedua ruas terhadap $x$.$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}(xy^2)&=\frac{d}{dx}(x-8) \\ \end{aligned}

Karena $y$ merupakan suatu fungsi dalam $x$, maka $xy^2$ dapat dipandang sebagai perkalian dua buah fungsi, yang turunannya dapat dicari dengan menggunakan aturan perkalian. Misalkan $u=x$ dan $v=y^2$.$$\begin{aligned} u&=x \Longrightarrow \frac{du}{dx}=1 \\ v&=y^2 \Longrightarrow \frac{dv}{dx}=2y \cdot \frac{dy}{dx} \end{aligned}Sehingga$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}(xy^2)&=u \cdot \frac{dv}{dx} + v \cdot \frac{du}{dx} \\ &= x \cdot 2y \cdot \frac{dy}{dx} + y^2 \cdot 1 \\ &= 2xy \cdot \frac{dy}{dx} + y^2 \end{aligned}

Dengan menentukan turunan dari suku lainnya, diperoleh$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}(xy^2)&=\frac{d}{dx}(x-8) \\ 2xy \cdot \frac{dy}{dx} + y^2&=1 \\ 2xy \cdot \frac{dy}{dx}&=1-y^2 \\ \frac{dy}{dx}&=\frac{1-y^2}{2xy} \\ \end{aligned}

Diperoleh turunan pertama dari fungsi tersebut. Akan tetapi, apakah kita yakin dengan hasil yang diperoleh dengan turunan implisit? Agar lebih yakin, kita akan menentukan turunan sebuah fungsi dengan dua cara, kemudian membandingkan hasil yang diperoleh. Kita akan menggunakan fungsi implisit, yang pada awal pembahasan, turunannya dicari dengan mengubah fungsi tersebut ke dalam bentuk eksplisit. Fungsi tersebut adalah $4x^2y-xy=x^3+1$Contoh 2 : 

Tentukan $y'=\frac{dy}{dx}$ dari $4x^2y-xy=x^3+1$ dengan turunan implisit.

Pembahasan

Pertama, kita turunkan kedua ruas terhadap x. Agar proses pengerjaan menjadi lebih sederhana, kita akan menggunakan notasi $y'$ untuk menggantikan $\frac{dy}{dx}$.$$\begin{aligned} (8xy + 4x^2y')-(y+xy') &= 3x^2 \\ 8xy + 4x^2y'-y-xy' &= 3x^2 \\ 4x^2y'-xy' &= 3x^2-8xy+y \\ (4x^2-x)y' &= 3x^2-8xy+y \\ y' &= \frac{3x^2-8xy+y}{4x^2-x} \end{aligned}

Akhirnya, kita peroleh hasil dengan turunan implisit. Jika dilihat secara sekilas, hasil ini berbeda dari hasil yang diperoleh sebelumnya. Namun coba perhatikan, ternyata hasil ini masih memuat variabel y, sedangkan hasil yang kita peroleh sebelumnya hanya memuat variabel x. Kita ketahui bahwa$$\begin{aligned} y &= \frac{4x^2-x}{x^3+1} \end{aligned}

Substitusi nilai y pada hasil yang diperoleh dengan turunan implisit.$$\begin{aligned} y' &= \frac{3x^2-8xy + y}{4x^2-x} \\ &= \frac{3x^2-8x \left( \frac{x^3+1}{4x^2-x} \right) + \left( \frac{x^3+1}{4x^2-x} \right)}{4x^2-x} \\ &= \frac{ \frac{3x^2(4x^2-x)}{4x^2-x}-\frac{8x(x^3+1)}{4x^2-x} + \frac{x^3+1}{4x^2-x}}{4x^2-x} \\ &= \frac{ \frac{(12x^4-3x^3)-(8x^4 + 8x) + (x^3+1)}{4x^2-x}}{4x^2-x} \\ &= \frac{ \frac{4x^4-2x^3-8x+1}{4x^2-x}}{4x^2-x} \\ &= \frac{4x^4-2x^3-8x+1}{(4x^2-x)^2} \end{aligned}

Nah, akhirnya kita memperoleh hasil yang sama. Selanjutnya, kita akan berlatih menyelesaikan soal-soal lainnya.

Contoh 3 :

Tentukan $y'$ dari $xy+\sin{xy}=1$.

Pembahasan

Sama seperti contoh sebelumnya, kita turunkan kedua ruas terhadap $x$.$\begin{aligned} (y+xy') + \cos{xy} (y+xy')&=1 \\ y+xy' + y \cos{xy} + xy' \cos{xy}&=1 \end{aligned}$

Tambahkan kedua ruas dengan $-y-y\cos{xy}$, sehingga diperoleh$\begin{aligned} xy' + xy' \cos{xy}&=1-y-y\cos{xy} \\ y' (x + x \cos{xy})&=1-y-y\cos{xy} \\ y' &=\frac{1-y-y\cos{xy}}{x + x \cos{xy}} \end{aligned}$

Diperoleh nilai $y'$ dari fungsi tersebut. 

Contoh 4 : 

Tentukan persamaan garis singgung fungsi 

$y+\cos{xy^2}+3x^2=4$ pada titik (1, 0).

Pembahasan

Pertama, kita tentukan nilai $y'$. Turunkan kedua ruas terhadap $x$.$$\begin{aligned} y'+(-\sin{xy^2})(y^2 + 2xyy')+6x&=0 \\ y'-y^2\sin{xy^2}-2xyy'\sin{xy^2}+6x&=0 \end{aligned}y′+(−sinxy2)(y2+2xyy′)+6xy′−y2sinxy2−2xyy′sinxy2+6x​=0=0​

Tambahkan kedua ruas dengan $-6x+y^2\sin{xy^2}$, sehingga diperoleh$$\begin{aligned} y'-2xyy'\sin{xy^2}&=-6x+y^2\sin{xy^2} \\ y'(1-2xy\sin{xy^2})&=-6x+y^2\sin{xy^2} \\ y'&=\frac{-6x+y^2\sin{xy^2}}{1-2xy\sin{xy^2}} \end{aligned}y′−2xyy′sinxy2y′(1−2xysinxy2)y′​=−6x+y2sinxy2=−6x+y2sinxy2=1−2xysinxy2−6x+y2sinxy2​​

Selanjutnya, kita tentukan gradien garis singgung fungsi pada titik (1, 0), dengan mensubstitusi koordinat titik tersebut pada $y'$.$$\begin{aligned} y'&=\frac{-6 \cdot 1+0^2 \cdot \sin{1 \cdot 0^2}}{1-2 \cdot 1 \cdot 0 \cdot \sin{1 \cdot 0^2}} \\ &= \frac{-6+0}{1-0} \\ &= -6 \end{aligned}y′​=1−2⋅1⋅0⋅sin1⋅02−6⋅1+02⋅sin1⋅02​=1−0−6+0​=−6​

Diperoleh gradien garis singgung di titik (1, 0) adalah -6. Persamaan garis singgung yang melalui titik (1, 0) dengan gradien 6 adalah$$\begin{aligned} y-0&=-6(x-1) \\ y&=-6x+6 \end{aligned}y−0y​=−6(x−1)=−6x+6​Jadi, persamaan garis singgung fungsi tersebut di titik (1, 0) adalah $y=-6x+6$.