Elemen, Himpunan, Bilangan

Pengertian Himpunan dan Elemen

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Benda atau objek dalam himpunan disebut elemen atau anggota himpunan. Dari defi nisi tersebut, dapat diketahui objek yang termasuk anggota himpunan atau bukan. Elemen-elemen suatu himpunan dapat berupa apa saja. Misalnya, C = { merah, hijau, biru }, adalah suatu himpunan yang elemen-elemennya adalah warna-warna merah, hijau dan biru.

contoh himpunan :

1) kumpulan hewan berkaki 2

2) kumpulan kendaraan beroda 2

3) kumpulan atlit bulutangkis dari Indonesia (himpunan)

Contoh bukan himpunan :

1) kumpulan anak pandai

2) kumpulan anak cantik

3) kumpulan anak tinggi

Jenis-Jenis Himpunan :
Himpunan Bagian (Subset).
Himpunan A dikatakan  himpunan  bagian  (subset)  dari  himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.
Syarat :
A ⊂ B, dibaca : A himpunan bagian dari B
A ⊂ B, dibaca : A bukan himpunan bagian dari B
B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A
B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A
Contoh :
Misal   A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4} maka  B ⊂ A
Sebab  setiap  elemen  dalam  B merupakan  elemen  dalam A,  tetapi  tidak sebaliknya.
Penjelasan : Dari definisi diatas himpunan bagian harus mempunyai unsur himpunan A  juga merupakan unsur himpunan B.artinya kedua himpunan itu harus saling berkaitan.


Himpunan Kosong 
Apabila himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} mempunyai anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} mempunyai dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6.
Maka kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut yaitu himpunan kosong.
Himpunan kosong tidak mempunyai anggota apa pun, dan ditulis sebagai:

Ø = {}

Himpunan Semesta
Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau “S” (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan.
Himpunan Sama (Equal)
Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, begitu pula sebaliknya.dinotasikan dengan A=B
Syarat : Dua buah himpunan anggotanya harus sama.
Contoh :
A ={ c,d,e}    B={ c,d,e }   Maka A = B
Penjelasan : Himpunan equal atau himpunan sama,memiliki dua buah himpunan yang anggotanya sama misalkan anggota himpunan A {c,d,e} maka himpunan B pun akan memiliki anggota yaitu { c,d,e }.

Himpunan Saling Lepas
Dua buah himpunan yang tidak kosong bisa dikatakan saling lepas jika kedua himpunan tersebut tidak memiliki anggota yang sama satu pun. Himpunan lepas dilambangkan dengan “//”.

Contoh:

Himpuanan A = {1,3,5,6} dan himpunan B = {2,4,8,10}
Maka A // B, Jika dinyatakan memakai diagram Venn:

Himpunan Komplemen (Complement set)
Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi AC . Himpunan komplemen jika di misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂ U. Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan komplemen, jadi AC = {1,2,6,7}. Dengan notasi pembentuk himpunan ditulis :
AC = {x│x Є U, x Є A}

Himpunan Ekuivalen
Himpunan dikatakan ekuivalen jika dua himpunan mempunyai jumlah anggota yang sama walaupun objek/benda nya tidak sama. Himpunan ekuivalen dilambangkan dengan ~. 
Contoh : 
Jika A = {1,3,5,7,9,11} dan B = {a,b,c,d,e,f},
maka A ~ B , karena n(A)=6 dan n(B)=6.

Operasi Pada Himpunan :
 

1. Irisan ( ∩ )

Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yg setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B.

Notasi: A ∩ B={x | x ∈ A dan x ∈ B}

2. Gabungan  ( ∪ )

Gabungan(union) dari himpunan A dan B adalah  himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.

Notasi : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

3. Komplemen

Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya

merupakan elemen U yang bukan elemen A.

Notasi : Ā = { x | x ∈ U, tapi x ∉ A }

4. Selisih

Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen B. Selisih antara A dan B dapat juga dikatakan sebagai komplemen himpunan B relatif terhadap himpunan A.

Notasi : A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B’

5. Beda Setangkup

Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah sesuatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.

Notasi: A⊕B = (A∪B) – (A∩B) = (A-B) ∪ (B-A)

6. Perkalian Kartesain

Perkalian kartesian (Cartesian products) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan

berurutan (ordered pairs) yang mungkin terbentuk dengan komponen kedua dari himpunan A dan B.

Notasi: A x B ={(a,b)| a ∈ A dan b ∈ B}

         Catatan:

1. jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: |A x B| = |A| . |B|

2. Pasangan berurutan (a,b) berbeda dengan (b,a).

3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A x B ≠ B x A dengan syarat A dan B tidak kosong.

4. Jika A = ∅ atau B = ∅ maka A x B = B x A = ∅

 Pengertian Bilangan

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan sebagai pencacahan dan pengukuran. Lambang atau simbol untuk mewakili bilangan disebut dengan angka atau lambang bilangan.

Macam-Macam Bilangan :

Terdapat berbagai macam jenis bilangan, berikut ini adalah penjelasan tentang macam-macam bilangan beserta contohnya lengkap.

1) Bilangan Asli

Pengertian bilangan asli adalah bilangan positif yang di mulai dari bilangan satu keatas. Contohnya: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7….}

2) Bilangan Bulat

Pengertian bilangan bulat adalah himpunan bilangan bulat negatif, bilangna nol dan bilangan bulat positif. Contohnya: B = {…., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…..}

3) Bilangan Cacah

Pengertian bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang terdiri bilangan positif danb nol. Contohnya : C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,….}

4) Bilangan Prima

Pengertian bilangan prima adalah bilangan yang tidak dapat dibagi oleh bilangan lainnya kecuali bilangan itu sendiri dan 1. Contohnya: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …..}

5) Bilangan Nol

Pengertian bilangan nol adalah bilangan nol (0) itu sendiri. Contohnya: N = {0}

6) Bilangan pecahan 

Pengertian bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a dan b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan a disebut dengan pembilang dan b disebut dengan penyebut. Contohnya: H = { ⅓, ⅔, ⅛, ⅝, ….. }

Keterangan: 4/2 = 2, berarti 4/2 bukan bilangan pecahan.

7) Bilangan Rasional 

Pengertian bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a dan b merupakan anggota bilangan bulat dan b ≠ 0. Contohnya: R = { ¼, ¾, …. }

8) Bilangan Irrasional

Pengertian bilangan irrasional adalah himpunan bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau bilangan sekain bilangan rasional. Contohnya : I = { √2, √3, √5, √6, √7, ….. }
Keterangan √9 = 3 berarti √9 bukan bilangan irrasional.

9) Bilangan Real

Pengertian bilangan real adalah himpunan bilangan berupa gabungan antara bilangan rasional dan bilangan irasional. Contohnya: R = { 0, 1, ¼, ⅔, √2, √5, ….. }

10) Bilangan Negatif

Pengertian bilangan negatif adalah bilangan yang bernilai negatif. Contohnya: N = { -3, -5, ¼, …. }
Keterangan -1/-4 = ¼, jadi -1/-4 bukan bilangan negatif.

11) Bilangan Positif

Pengertian bilangan positif adalah bilangan yang bernilai positif selain nol. Contohnya: P = {2, 3, 4, 5, ¼, ….}

12) Bilangan Genap

Pengertian bilangan genap adalah bilangan-bilangan yang akan habis jika dibagi menjadi 2. Contohnya: Ge = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ….}

13) Bilangan Ganjil

Pengertian bilangan ganjil adalah bilangan yang jika dibagi 2 maka akan tersisa 1 atau bilangan yang dapat dinyatakan dengan 2n-1 dengan n adalah bilangan bulat. Contohnya: Ga = {-3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, …. }

14) Bilangan Komposit

Pengertian bilangan komposit adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1 tapi bukan termasuk dalam bilangan prima. Contohnya: K = {4, 6, 8, 9, 10, 12, ….}

15) Bilangan Riil

Pengertian Bilangan Riil adalah bilangan yang dapay ditulis dalam bentuk desimal. Contohnya: L = { 5/8, log 10, ….}

16) Bilangan Imajiner

Pengertian bilangan imajiner adalah bilangan i (satuan imajiner), dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i2 = -1. Contohnya: I = {i, 4i, 5i, …..}

17) Bilangan Kompleks

Pengertian bilangan kompleks adalah bilangan yang anggotanya a+bi, dimana a,b ϵ R, i2 = -1. Dengan bagian bilangan riil dan b bagian bilangan imajiner. Contohnya K = {2-3i, 8+2, …..}

18) Bilangan Kuadrat

Pengertian bilangan kuadrat adalah bilangan yang dihasilkan dari perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri sebanyanyak dua kali dan disimbolkan dengan pangkat 2.
Contohnya : K = {2², 3²,4²,5²,6²,….}

19) Bilangan Romawi

Pengertian bilangan romawi adalah suatu sistem penomoran yang berasal dari romawi kuno menggunakan huruf latin yang melambangkan angka numerik. Contoh: M = {I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, XI, X, XI,…..}