INTEGRAL

Pengertian Integral

Integral adalah bentuk operasi matematika yang menjadi invers (kebalikan) dari sebuah operasi turunan dan limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu.

Berdasarkan pengertian diatas, ada dua hal yang dilakukan dalam integral sehingga dikategorikan menjadi 2 jenis integral. Yakni:

Yang Pertama yaitu: Integral sebagai invers atau kebalikan dari turunan yang disebut sebagai Integral Tak Tentu. Yang Kedua yaitu: Integral sebagai limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu yang disebut Integral Tentu.

Integral Tak Tentu

Integral tak tentu yang seperti sebelumnya dijelaskan adalah merupakan sebuah invers atau kebalikan dari turunan. Yang mana, apabila sebuah turunan dari suatu fungsi, jika diintegralkan akan menghasilkan sebuah fungsi itu sendiri. Contoh perhatikanlah turunan-turunan dalam fungsi aljabar dibawah berikut ini:

1. Turunan dari fungsi aljabar yakni: y = x3 ialah yI = 3x2
2. Turunan dari fungsi aljabar yakni: y = x3 + 8 ialah yI = 3x2
3. Turunan dari fungsi aljabar yakni: y = x3 + 17 ialah yI = 3x2
4. Turunan dari fungsi aljabar yakni: y = x3 – 6 ialah yI = 3x2

Didalam sebuah materi turunan, variabel dalam suatu fungsi akan mengalami penurunan pangkat.

Berdasarkan contoh diatas, kita ketahui bahwa ada banyak fungsi yang memiliki hasil turunan yang sama yaitu yI = 3x2. Fungsi dari variabel x3 ataupun fungsi dari variabel x3 yang ditambah atau dikurang suatu bilangan (misal contohnya : +8, +17, atau -6) mempunyai turunan yang sama.

Apabila  turunan tersebut dintegralkan, maka seharusnya ialah menjadi fungsi-fungsi awal sebelum diturunkan. Namun, dalam kasus tidak diketahui fungsi awal dari suatu turunan, maka hasil integral dari turunan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

f(x)= y = x3 + C

Dengan nilai C bisa berapapun jumlahnya. Notasi C ini biasa disebut sebagai konstanta integral.

Integral tak tentu ini dari suatu fungsi dinotasikan sebagai berikut:

Pada notasi tersebut, dapat dibaca sebagai integral terhadap notasi x yang disebut integran.

Secara umum integral dari fungsi f(x) ialah penjumlahan F(x) dengan C atau ditulis:

Oleh karena integral dan turunan saling berkaitan, maka rumus integral dapat diperoleh dari rumusan penurunan tersebut. Maka turunan ialah:

Maka rumus integral aljabar akan diperoleh:

dengan syarat-syarat .

Sebagai bahan contoh, lihatlah integral aljabar fungsi-fungsi berikut:

1. 
2. 
   
3. 
   

Integral Tentu

Landasan dasar mengenai integral tentu pertama kali diperkenalkan oleh seorang ilmuan terkenal yaitu Newton dan Leibinz yang kemudian diperkenalkan lebih lanjut secara modern oleh Riemann.

Pengertian Integral ini memiliki batas atas dan batas bawah. Didalam aplikasinya, integral tentu banyak digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva dengan batas-batas tertentu atau menghitung volume benda jika diputar.

Mengenal Beberapa Sifat dan Rumus Integralnya

Dibawah ini adalah sifat-sifat dari operasi integral, yaitu:

Rumus Dasar Integral

Selain rumus dasar di atas, kita juga bisa menggunakan rumus cepat lagi praktis seperti yang dipaparkan dibawah berikut:

• Rule 1

“n” sebagai pangkat dari x , dimana n tidak boleh bernilai -1. Karena nantinya pembaginya -1 + 1 = 0, Bilangan berapa pun jika dibagi 0 hasilnya tak terdefinisi/ tak hingga.

Rule 2

Integral Exponensial adalah fungsi yang dinotasikan dalam bentuk e pangkat x.

Rule 3

Contoh Soal :

Rule 4

Contoh Soal :

Rule 5

Contoh Soal :

Rule 6

Teknik perhitungan integral pada rule ini:
1. Memilih fungsi  u : g(x) sehingga ∫f (g(x)) g'(x) dx dapat diubah menjadi ∫f (u) du.
2. Tentukan fungsi integral umum = f (u) yang bersifat f’ (du) : f (u).

Rule 7

Contoh Soal :

Rule 8

Sifat - sifat ;

Contoh Soal :

Matriks Lanjutan III

Persamaan Simultan

Persamaan simultan adalah kumpulan dari beberapa persamaan linear yang terdiri dari satu, dua atau tiga variable bebas. Untuk persamaan linear yang terdiri dari satu variable, misalnya 4x + 5 = 9, maka dengan mudah bisa diselesaikan persamaan tersebut dengan memindahkan ruasnya

Dapat dilihat pada contoh berikut :

4x + 5 = 9  4x = 4 x = 1

Dibawah ini yang akan kita bahas adalah persamaan linear dari 2 dan 3 variabel.

A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Tujuan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel adalah menentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan itu. Untuk menyelesaikan persamaan linear ada 2 metoda yaitu metoda Invers dan metoda cramer

1. Metode Invers

Bentuk Ax = b dapat dirumuskan sebagai berikut.

Contoh Soal :

2. Metode Cramer

Diketahui sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut.

ax + by = c

px + qy = r

dapat diubah kedalam bentuk matriks sebagai berikut :

Contoh Soal :

B. Sistem Persamaan Linear 3 Variabel

 Persamaan simultan yang terdiri dari 3 variabel juga dapat diselesaikan dengan cara yang sama  yaitu metode invers dan metode cramer. Dibawah ini akan dijelaskan untuk masing –masing metode.

1. Metode Invers

Diberikan persamaan linear sebagai berikut

a11 x1 +  a12 x2 + … + a1n xn    =  b1

a21 x1  +  a22 x2 + …  + a2n xn    =  b2

………………….………………………………

am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn  =  bn

Persamaan linear diatas dapat disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

Penyelesaian persamaan simultan diatas diatas dapat dilakukan dengan menentukan balikan dari A, sedemikian sehingga diperoleh :

  AX = B  =>  A-1AX = A-1B  =>   X = A-1B

2. Metoda Cramer

Metode Cramer merupakan suatu metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear melalui pemakaian determinan.

Matriks lanjutan II

DETERMINAN

Matriks Ordo 3×3

Untuk menghitung determinan suatu matriks dapat dilakukan dengan berbagai metode salah satunya yaitu menggunakan metode sarrus, metode minor dan kofaktor, pada kesempatan ini kita akan memelajari ketiganya.

Metode sarrus

Misal diberikan matriks berukuran 3×3

• Metode minor dan kofaktor 
artinya determinan dari penutupan baris ke-i dan kolom ke j

• Ekspansi
• Laplace 
• Metode atau ekspansi laplace adalah suatu cara untuk menghitung determinan dengan menggunakan kofaktor.
• Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris/kolom dengan kofaktor-kofaktornya.



• Determinan suatu matriks sama dengan determinan dari transposenya, det ( A ) =

 det ( At).

INVERSE MATRIKS

InverseMatriks (matriks balikan) A-1 hanya dapat ditemukan pada suatu matriks bujursangkar, dan non singular. Dimana harus memenuhi suatu hubungan sebagai berikut:

Matriks Lanjutan

Sebelum kita memasuki materi pembahasan tersebut saya ingin menjabarkan terlebih dahulu materi pembahasan kita sekarang ini tentang MATRIKS LANJUTAN 1 yang terdiri dari :

1. Transformasi elementer pada Baris

2. Transformasi elementer pada Kolom

3. Matriks Ekivalen

4. Rank Matriks

5. Pengenalan Konsep Determinan

dan saya juga akan membuatkan contoh dari masing materi diatas supaya kalian lebih cepat memahimi pembahasan kita kali ini.

• Transformasi Elementer pada Baris  
  Terhadap elemen-elemen suatu matriks dapat dilakukan transformasi atau penukaran atau perpindahan menurut baris matriks.
  
  
  Kaidah-kaidah transformasi elementer : 
  Apabila ada matriks A = (aij), maka transformasi elemen-elemen pada baris ke-i dengan baris ke-j ditulis Hij (A), yang merupakan penukaran semua elemen baris ke-i dengan baris ke-j atau baris ke-j dijadikan baris ke-i.
  
  
  Contoh : 

• Transformasi Elementer pada Kolom

Terhadap elemen-elemen suatu matriks dapat dilakukan transformasi atau penukaran atau perpindahan menurut kolom matriks.

Transformasi elemen-elemen pada kolom ke-i dengan kolom ke-j, ditulis Kij (A), adalah penukaran semua elemen kolom ke-i dengan kolom ke-j atau kolom ke-i dijadikan kolom ke-j.

• Matriks Ekivalen

Dua matriks A dan B disebut ekivalen, ditulis A ∼ B, jika B diperoleh dari A dengan melakukan transformasi elementer, dan sebaliknya A diperoleh dari B dengan melakukan invers transformasi elementer. 

Contoh :

• Rank Matriks

Rank baris dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris matriks A. Rank kolom dari matriks A adalah dimensi dari ruang kolom matriks A. Bila rank baris = rank kolom maka rank matriks A yaitu r (A) adalah harga atau nilai dari rank baris/ rank kolom matriks A tersebut.
Dengan kata lain rank dari matriks menyatakan jumlah maksimum vektor-vektor baris/kolom yang bebas linear. Untuk mencari rank matriks dapat dilakukan dengan transformasi elementer, yaitu dengan cara sebanyak mungkin mengubah baris kolom menjadi vektor nol.

Contoh :

Petunjuk menentukan rank matriks :

Bila matriks hanya mempunyai dua baris, maka cukup diperiksa apakah elemen-elemen pada baris ke-1 dan baris ke-2 saling berkelipatan. 

Contoh : 

Secara umum :

1. Pilih baris / kolom yang bukan vektor nol, dan pilih elemen pada baris/kolom tersebut yang tidak sama dengan nol sebagai elemen pivot. Pada contoh transformasi baris a13 =1 (≠ 0), kemudian pilih baris yang mengandung elemen 1 atau –1 sebagai elemen pivot.
2. Jadikan nol semua elemen yang sekolom dengan elemen pivot melalui transformasi baris oleh elemen pivot tersebut. Pada contoh diatas a23, a33 dan a43 dijadikan nol.
3. Selanjutnya tidak perlu lagi memeperhatikan baris pivot diatas. Perhatikan baris-baris yang tinggal. Pada contoh diatas adalah baris. Kerjakan langkah (1) terhadap mereka. Pada contoh diatas pilih baris 4 dengan elemen pivot a41=1. Seterusnya kembali lagi pada langkah a dan b.
4. Proses ini akan berakhir bila langkah a tidak dapat dikerjakan lagi, yaitu bila telah menjadi baris nol. 

• Determinan

Pengertian determinan :
Determinan merupakan sebuah bilangan tunggal atau scalar, dan hanya dijumpai dalam matriks bujur sangkar. Jika determinan suatu matriks bujur sangkar adalah nol, maka matriks tersebut dikatakan sebagai matriks singular. Dan jika determinan matriks tersebut bukan nol, maka matriks tersebut dikatakan sebagai matriks non singular. Matriks nonsingular, secara linear tidak tergantung (saling independent)

Determinan Matriks Ordo 2 x 2
Jika diberikan matriks ordo 2 dinyatakan seperti bentuk di bawah. 

Sifat-sifat Determinan :
Sifat-sifat determinan ada enam, yaitu :

 a. Determinan suatu matriks sama dengan determinan dari transposenya, det (A) = det (A^t).

Contoh :

b. Penambahan atau pengurangan suatu kelipatan bukan nol dari suatu baris/kolom dari baris/kolom lainnya tidak akan mempunyai pengaruh pada determinan.  

 c. Penukaran tempat antara dua baris atau kolom sembarang dari suatu matriks akan merubah tanda, tetapi tidak merubah harga absolut dari determinan.

Contoh :

 d. Determinan dari suatu matriks segitiga (triangular matriks), yaitu matriks dengan elemen-elemen nol diatas atau di bawah diagonal utama, adalah sama dengan hasil kali dari elemenelemen dari diagonal utama.

Contoh :

  e. Jika semua elemen dari suatu baris atau kolom adalah nol, determinan adalah nol.

Contoh :

 f. Jika dua baris atau kolom identik, atau proporsional, yaitu secara linear tergantung, maka determinan adalah nol.

Contoh :

Ekspansi Laplace
Metode atau ekspansi Laplace adalah suatu cara untuk menghitung determinan dengan menggunakan kofaktor.
Determinan dari suatu matriks = jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris/kolom dengan kofaktor-kofaktornya.

Ekspansi Laplace dapat ditulis dengan cara :

|A| = a11|C11|+a12|C12|+a13|C13| menggunakan baris 1

Dengan pola yang sama dapat juga dihitung dengan menggunakan baris ke dua dan ketiga, dengan memberikan hasil determinan yang sama.

Contoh Soal :

1. 

  

2.